[BZOJ 2186]沙拉公主的困惑

danihao123 posted @ 2016年10月11日 21:59 in 题解 with tags SDOI 欧拉函数 数学 数论 省选 bzoj , 201 阅读
转载请注明出处:http://danihao123.is-programmer.com/

这个题啊……亦可赛艇!

答案是[tex]\varphi(m!)*n!/m![/tex]。原因很简单,把[tex][1,n!][/tex]分成长度为[tex]m![/tex]的若干段,除去第一段外每一段中与[tex]m![/tex]互质的数[tex]k[/tex]肯定满足[tex](k\bmod m!,m!)=1[/tex](否则,[tex]k[/tex]和[tex]m![/tex]就会有大于一的公因子了)。所以说每一段内与[tex]m![/tex]互质的数都有[tex]\varphi(m!)[/tex]个。

麻烦好像就在于求一个阶乘的欧拉函数。考虑一个新乘上的数能给答案带来的贡献——如果这个数是合数,它的所有因子在前面都有了,只能把他自己贡献出来;如果这个数是质数(假设为[tex]p[/tex]),出了贡献自己以外还会贡献一个[tex](1-1/p)[/tex],最后乘起来就是贡献了[tex]p-1[/tex]。筛一遍素数再递推一下就好辣~

并且……[tex]n-m[/tex]可能非常大,所以说除去[tex]m![/tex]那块要用逆元做。

(顺便说下阶乘也要递推)

代码:

/**************************************************************
    Problem: 2186
    User: danihao123
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:9408 ms
    Memory:166836 kb
****************************************************************/
 
#include <cstdio>
#include <cmath>
typedef unsigned long long ull;
const int maxn=10000000;
ull R;
bool vis[maxn+5];
inline void sievePrime(){
    register int i,j,m=sqrt(maxn+0.5);
    for(i=2;i<=m;i++)
        if(!vis[i])
            for(j=i*i;j<=maxn;j+=i)
                vis[j]=true;
}
ull fac[maxn+5];
inline void sieveFac(){
    register int i;
    fac[0]=1%R;
    for(i=1;i<=maxn;i++)
        fac[i]=(fac[i-1]*(i%R))%R;
}
ull phifac[maxn+5];
inline void sievePhiFac(){
    register int i;
    phifac[1]=1%R;
    for(i=2;i<=maxn;i++){
        if(vis[i])
            phifac[i]=(phifac[i-1]*(i%R))%R;
        else
            phifac[i]=(phifac[i-1]*((i%R-1%R+R)%R))%R;
    }
}
void exgcd(ull a,ull b,ull& d,ull& x,ull& y){
    if(!b){
        d=a;
        x=1;
        y=0;
    }else{
        exgcd(b,a%b,d,y,x);
        y-=x*(a/b);
    }
}
ull inv(ull a){
    ull d,x,y;
    exgcd(a,R,d,x,y);
    return (x+R)%R;
}
int main(){
    int T;
    int n,m;
    scanf("%d%llu",&T,&R);
    sievePrime();
    sieveFac();
    sievePhiFac();
    while(T--){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        printf("%llu\n",(phifac[m]*((fac[n]*inv(fac[m]))%R))%R);
    }
    return 0;
}

登录 *


loading captcha image...
(输入验证码)
or Ctrl+Enter