[BZOJ 1009][HNOI2008]GT考试

好劲啊这题……

首先先想DP的做法,我们用[tex]p[i][j][/tex]表示若字符串已匹配前缀[tex][1,i][/tex],有多少种方案使得追加上一个数后匹配[tex][1,j][/tex],这个用KMP可以很方便的求出(事实上暴力也可以)

然后再来看DP的做法,转移方程大致是这样的:

[tex]d[i][j]=\Sigma_{k=0}^{m-1}(d[i-1][k]\times p[k][j])[/tex]

但是n非常大,这么做注定要TLE。

不过看这个转移方程,是不是和矩阵乘法的定义很像?是的。

我们可以用一个[tex]1\times m[/tex]的矩阵[tex]D[/tex]来表示某一个阶段的DP值,我们可以把[tex]p[/tex]组织成一个[tex]m\times m[/tex]矩阵[tex]P[/tex]。然后我们可以发现:

[tex]D_i\times P=D_{i+1}[/tex]

由于矩阵乘法满足结合律,所以:

[tex]D_n=D_0\times P^n[/tex]

很明显可以快速幂搞出来。

代码:

/**************************************************************
    Problem: 1009
    User: danihao123
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:80 ms
    Memory:820 kb
****************************************************************/
 
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
typedef ull Matrix[22][22];
ull MOD;
#define REP(i,n) for(i=0;i<(n);i++)
#define CL_ARR(x,v) memset(x,v,sizeof(x))
#define CP_ARR(from,to) memcpy(to,from,sizeof(from))
 
inline void MatrixMul(Matrix A,Matrix B,int m,int n,int p,Matrix& res){
    register int i,j,k;
    Matrix C;
    CL_ARR(C,0);
    REP(i,m){
        REP(j,p){
            REP(k,n){
                C[i][j]=(C[i][j]+(A[i][k]*B[k][j])%MOD)%MOD;
            }
        }
    }
    CP_ARR(C,res);
}
void MatrixPow(Matrix A,int m,ull p,Matrix& res){
    Matrix a,temp;
    register int i;
    CL_ARR(a,0);
    memcpy(a,A,sizeof(a));
    CL_ARR(temp,0);
    REP(i,m){
        temp[i][i]=1;
    }
    while(p){
        if(1&p){
            MatrixMul(temp,a,m,m,m,temp);
        }
        p>>=1;
        MatrixMul(a,a,m,m,m,a);
    }
    CP_ARR(temp,res);
}
 
char buf[25];
int f[25];
int main(){
    register int i,u,j;
    register ull ret=0;
    ull n;
    int m;
    Matrix ans,P;
    scanf("%llu%d%llu",&n,&m,&MOD);
    scanf("%s",buf+1);
    CL_ARR(ans,0);
    ans[0][0]=1;
    CL_ARR(P,0);
    P[0][0]=9;P[0][1]=1;
    // f[0]=f[1]=0;
    for(i=1;i<m;i++){
        u=f[i];
        while(u && buf[u+1]!=buf[i+1]){
            u=f[u];
        }
        if(buf[u+1]==buf[i+1]){
            f[i+1]=u+1;
        }else{
            f[i+1]=0;
        }
        for(j=0;j<10;j++){
            u=i;
            while(u && buf[u+1]!=j+'0'){
                u=f[u];
            }
            if(buf[u+1]==j+'0'){
                P[i][u+1]=(P[i][u+1]+1)%MOD;
            }else{
                P[i][0]=(P[i][0]+1)%MOD;
            }
        }
    }
    MatrixPow(P,m,n,P);
    MatrixMul(ans,P,1,m,m,ans);
    for(i=0;i<m;i++){
        ret=(ret+ans[0][i])%MOD;
    }
    printf("%llu\n",ret);
    return 0;
}

[POJ 2406]Power Strings

循环节又一题……用KMP性质搞搞即可。

注意特判(好像是句废话),再就没啥了……

代码:

#include <cstdio>
#include <cstring>
const int maxn=1e6+5;
char P[maxn];
int f[maxn];
int main(){
	register int i,j,xhj,n;
	while(scanf("%s",P)){
		if(P[0]=='.')
			break;
		n=strlen(P);
		f[0]=f[1]=0;
		for(i=1;i<n;i++){
			j=f[i];
			while(j && P[j]!=P[i])
				j=f[j];
			f[i+1]=(P[j]==P[i]?j+1:0);
		}
		xhj=n-f[n];
		if(!(n%xhj)){
			printf("%d\n",n/xhj);
		}else{
			puts("1");
		}
	}
	return 0;
}

[BZOJ 1511]Periods of Words

很妙的一道题啊。

这个题可以先求一遍KMP的失配函数,然后对于每个失配函数沿着失配边往前一直走(不能走到0)。然后对于每个前缀[tex]i[/tex],答案就是[tex]i-f[i][/tex](要求[tex]f[i][/tex]不为0,反之无解)。

为什么这样可以呢?

首先建议大家看一下Matrix67关于KMP的解释。对于一个前缀,如果整个弄上去肯定不行。所以说需要前面和后面重叠一个字串,这个子串是不考虑的。当然,我们希望在这个被删除的子串最短辣。

代码:

/**************************************************************
    Problem: 1511
    User: danihao123
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:148 ms
    Memory:5704 kb
****************************************************************/
 
#include <cstdio>
const int maxn=1000005;
 
char buf[maxn];
int f[maxn];
int main(){
    register int i,j;
    register long long ans=0;
    int n;
    scanf("%d%s",&n,buf);
    f[0]=f[1]=0;
    for(i=1;i<n;i++){
        j=f[i];
        while(j && buf[i]!=buf[j])
            j=f[j];
        f[i+1]=(buf[i]==buf[j]?j+1:0);
    }
    for(i=2;i<=n;i++){
        if(f[i]){
            while(f[f[i]]){
                f[i]=f[f[i]];
            }
        }
    }
    for(i=1;i<=n;i++){
        if(f[i]){
            ans+=i-f[i];
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

[POJ 3461]Oulipo

字符串搜索提……同时是KMP模板提……

注意啊变量别重名,结果会很壮观的(大吐核)。

代码:

#include <cstdio>
#include <cstring>
const int maxn=1000005,maxm=10005;
char P[maxm],T[maxn];
int f[maxm];
int n,m;
inline void MakeFail(){
    register int i,j;
    f[0]=f[1]=0;
    for(i=1;i<m;i++){
        j=f[i];
        while(j && P[j]!=P[i])
            j=f[j];
        f[i+1]=(P[j]==P[i]?j+1:0);
    }
}
inline int KMP(){
    register int i,j,ans=0;
    n=strlen(T);
    m=strlen(P);
    MakeFail();
    j=0;
    for(i=0;i<n;i++){
        while(j && P[j]!=T[i])
            j=f[j];
        if(P[j]==T[i])
            j++;
        if(j==m)
            ans++;
    }
    return ans;
}
int main(){
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%s%s",P,T);
        printf("%d\n",KMP());
    }
    return 0;
}

[BZOJ 1355]Radio Transmission

KMP处女作……

然而这题只用得着失配函数= =

话说常见的OI考试中考KMP好像就只有考循环节问题的了= =

代码:

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