danihao123's Blog

给你一张\(n\)个点\(m\)条边的有向图，设从\(1\)到\(n\)的最短路为\(d\)，那么请问有多少\(1\)到\(n\)的路径（可以是非简单路径）满足其长度在\([d, d + K]\)中，如果答案为无限大的话输出\(-1\)。

\(1\leq n\leq 10^5, 1\leq m\leq 2\times 10^5, 0\leq K\leq 50\)。

aji波兰题！（迫真）

啊波兰题真好康（一转）

考虑怎么去除非加油站的影响……对于每两个加油站，取他们的最短路，然后建出来一个图，这个图的MST上的路径的走法就事最优走法。

但这样显然会凉……因为\(s\)肥肠巨大，会T。然后我们考虑多源最短路，并且给每个点标记到它最近的加油站（称为来源）。那么考虑两条加油站间的路径，上面一定有一条边满足边两个端点不一样（证明考虑……如果所有边两边端点的来源都一样，那么所有边的来源会同时事那两个加油站）。

然后一个小问题事，如果一个点有多个来源，只考虑一个会出事吗？这个事不会的。比如说有三个加油站\(a\)、\(b\)、\(c\)，如果说三者到一个点的最短路都一样，那么我们考虑只取\(a\)。如果\(b\)和\(c\)本来能连一条边，但现在因为这个连不了了，那他们还是能同时各和\(a\)连一条长度和原来的那条边长度一样的边，所以事实上没有什么笋丝。

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <utility>
#include <vector>
#include <queue>
const int maxn = 200005, maxm = 400005;
int first[maxn];
int next[maxm], to[maxm], dist[maxm];
bool dir[maxm];
void add_edge(int u, int v, int w, bool d = true) {
  static int cnt = 0;
  cnt ++; next[cnt] = first[u]; first[u] = cnt;
  to[cnt] = v; dist[cnt] = w; dir[cnt] = d;
}
void ins_edge(int u, int v, int w) {
  add_edge(u, v, w); add_edge(v, u, w, false);
}

using ll = long long;
using pii = std::pair<ll, int>;
int n; std::vector<int> V;
ll d[maxn]; int src[maxn];
bool vis[maxn];
void dij() {
  memset(d, 0x1f, sizeof(d));
  std::priority_queue<pii, std::vector<pii>, std::greater<pii> > Q;
  for(auto p : V) {
    d[p] = 0; src[p] = p;
    Q.push(std::make_pair(0LL, p));
  }
  while(!Q.empty()) {
    int u = Q.top().second; Q.pop();
    if(vis[u]) continue;
    vis[u] = true;
    for(int i = first[u]; i; i = next[i]) {
      int v = to[i];
      if(d[u] + (ll(dist[i])) < d[v]) {
        d[v] = d[u] + (ll(dist[i]));
        src[v] = src[u];
        Q.push(std::make_pair(d[v], v));
      }
    }
  }
}

int p[maxn], rk[maxn];
int get_fa(int x) {
  if(p[x] == x) {
    return x;
  } else {
    return (p[x] = get_fa(p[x]));
  }
}
void link_set(int x, int y) {
  if(rk[x] > rk[y]) std::swap(x, y);
  p[x] = y;
  if(rk[x] == rk[y]) rk[y] ++;
}
void merge_set(int x, int y) {
  x = get_fa(x); y = get_fa(y);
  if(x != y) link_set(x, y);
}
bool is_same(int x, int y) {
  return (get_fa(x) == get_fa(y));
}
void init_set() {
  for(int i = 1; i <= n; i ++) {
    p[i] = i;
  }
}

struct Edge {
  int u, v; ll w;
  Edge(int a = 0, int b = 0, ll c = 0) {
    u = a; v = b; w = c;
  }
  bool operator <(const Edge &res) const {
    return w < res.w;
  }
};
int m; Edge E[maxm];
int ecnt;
void process() {
  dij(); ecnt = 0;
  for(int i = 1; i <= n; i ++) {
    for(int j = first[i]; j; j = next[j]) {
      int v = to[j];
      if(dir[j] && src[i] != src[v]) {
        E[++ ecnt] = Edge(src[i], src[v], (ll(dist[j])) + d[i] + d[v]);
      }
    }
  }
  std::sort(E + 1, E + 1 + ecnt);
}
bool ans[maxm];
void solve() {
  int q; scanf("%d", &q);
  init_set(); int cur = 0;
  std::vector<std::pair<Edge, int> > Q;
  for(int i = 1; i <= q; i ++) {
    int u, v; ll w; scanf("%d%d%lld", &u, &v, &w);
    Q.push_back(std::make_pair(Edge(u, v, w), i));
  }
  std::sort(Q.begin(), Q.end());
  for(auto x : Q) {
    Edge e = x.first;
    while(cur < ecnt && E[cur + 1].w <= e.w) {
      cur ++;
      merge_set(E[cur].u, E[cur].v);
    }
    ans[x.second] = is_same(e.u, e.v);
  }
  for(int i = 1; i <= q; i ++) {
    if(ans[i]) {
      puts("TAK");
    } else {
      puts("NIE");
    }
  }
}

int main() {
  int s; scanf("%d%d%d", &n, &s, &m);
  for(int i = 1; i <= s; i ++) {
    int x; scanf("%d", &x);
    V.push_back(x);
  }
  for(int i = 1; i <= m; i ++) {
    int u, v, w; scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
    ins_edge(u, v, w);
  }
  process(); solve();
  return 0;
}

又是一道分层图最短路水题……

我估计会卡SPFA（或许可能不卡？），所以再次写了pb_ds优化Dijkstra。

代码：

/**************************************************************
    Problem: 2662
    User: danihao123
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:4 ms
    Memory:868 kb
****************************************************************/
 
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <utility>
#include <ext/pb_ds/priority_queue.hpp>
#include <bitset>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn=51,maxk=51,maxm=2005;
int cnt=0;
int first[maxn];
int to[maxm],next[maxm];
int dist[maxm];
inline void Add_Edge(int x,int y,int z){
    cnt++;
    next[cnt]=first[x];
    first[x]=cnt;
    to[cnt]=y;
    dist[cnt]=z;
}
 
int d[maxn][maxk];
bitset<maxn> vis[maxk];
struct Node{
    int x,k,d;
    bool operator <(const Node& itt) const{
        return d<itt.d;
    }
    bool operator >(const Node& itt) const{
        return d>itt.d;
    }
};
typedef __gnu_pbds::priority_queue<Node,greater<Node> > Heap;
Heap::point_iterator ite[maxn][maxk];
Heap Q;
int n,k;
inline void relax(int x,int y,int p){
    d[x][y]=p;
    if(ite[x][y]!=0)
        Q.modify(ite[x][y],(Node){x,y,p});
    else
        ite[x][y]=Q.push((Node){x,y,p});
}
int dij(){
    register int i,u,v,ans=0x7f7f7f7f;
    memset(d,0x7f,sizeof(d));
    d[1][0]=0;
    ite[1][0]=Q.push((Node){1,0,0});
    while(!Q.empty()){
        u=Q.top().x;
        v=Q.top().k;
        Q.pop();
        if(vis[u][v])
            continue;
        vis[u][v]=true;
        for(i=first[u];i;i=next[i]){
            if(v<k){
                if(d[to[i]][v+1]>(d[u][v]+dist[i]/2)){
                    relax(to[i],v+1,d[u][v]+dist[i]/2);
                }
            }
            if(d[to[i]][v]>d[u][v]+dist[i]){
                relax(to[i],v,d[u][v]+dist[i]);
            }
        }
    }
    for(i=0;i<=k;i++)
        ans=min(ans,d[n][i]);
    return ans;
}
 
// I/O优化
inline int readint(){
    char c=getchar();
    register int x=0;
    while(!isdigit(c))
        c=getchar();
    while(isdigit(c)){
        x=x*10+c-'0';
        c=getchar();
    }
    return x;
}
int bf[10];
inline void writeint(int x){
    register int p=0;
    if(x==0){
        bf[p++]=0;
    }else{
        while(x){
            bf[p++]=x%10;
            x/=10;
        }
    }
    for(register int i=p-1;i>=0;i--)
        putchar('0'+bf[i]);
}
int main(){
    int m;
    register int i,u,v,d;
    n=readint();
    m=readint();
    k=readint();
    for(i=1;i<=m;i++){
        u=readint();
        v=readint();
        d=readint();
        Add_Edge(u,v,d);
        Add_Edge(v,u,d);
    }
    writeint(dij());
    putchar('\n');
    return 0;
}

分层图最短路处女作TAT

很明显要求你求一个分层图上的最短路。不过没必要把分层图构出来，手写转移即可。还有卡SPFA是怎么回事？出题人你粗来我保证不打死你……

然而沉迷pb_ds，不能自拔。

代码：

/**************************************************************
    Problem: 2763
    User: danihao123
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:268 ms
    Memory:3136 kb
****************************************************************/
 
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <utility>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <ext/pb_ds/priority_queue.hpp>
using namespace std;
const int maxn=10001,maxm=100001,maxk=11;
typedef pair<int,int> pii;
int first[maxn];
int next[maxm],to[maxm],dist[maxm];
int graph_cnt=0;
inline void Add_Edge(int u,int v,int d){
    graph_cnt++;
    next[graph_cnt]=first[u];
    first[u]=graph_cnt;
    to[graph_cnt]=v;
    dist[graph_cnt]=d;
}
 
struct Node{
    pii pnt;
    int d;
    bool operator <(const Node& x) const{
        return d<x.d;
    }
    bool operator >(const Node& x) const{
        return d>x.d;
    }
};
 
typedef __gnu_pbds::priority_queue<Node,greater<Node> > Heap;
Heap::point_iterator ite[maxn][maxk];
Heap Q;
int n,k;
bool vis[maxn][maxk];
int d[maxn][maxk];
inline void relax(int u,int v,int di){
    d[u][v]=di;
    if(ite[u][v]!=0)
        Q.modify(ite[u][v],(Node){make_pair(u,v),di});
    else
        ite[u][v]=Q.push((Node){make_pair(u,v),di});
}
int Dijkstra(int s,int t){
    register int i,u,v;
    pii temp;
    memset(d,0x7f,sizeof(d));
    d[s][0]=0;
    ite[s][0]=Q.push((Node){make_pair(s,0),0});
    while(!Q.empty()){
        temp=Q.top().pnt;
        Q.pop();
        u=temp.first;
        v=temp.second;
        if(vis[u][v])
            continue;
        vis[u][v]=true;
        for(i=first[u];i;i=next[i]){
            if(v<k){
                if(d[u][v]<d[to[i]][v+1]){
                    relax(to[i],v+1,d[u][v]);
                }
            }
            if(d[u][v]+dist[i]<d[to[i]][v]){
                relax(to[i],v,d[u][v]+dist[i]);
            }
        }
    }
    register int ans=0x7f7f7f7f;
    for(i=0;i<=k;i++)
        ans=min(ans,d[t][i]);
    return ans;
}
int main(){
    int m,s,t,u,v,d;
    register int i;
    scanf("%d%d%d%d%d",&n,&m,&k,&s,&t);
    for(i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&d);
        Add_Edge(u,v,d);
        Add_Edge(v,u,d);
    }
    printf("%d\n",Dijkstra(s,t));
    return 0;
}

这题初看有些棘手。但是毕竟是最短路，[tex]min(abs(x_{1}-x_{2}),abs(y_{1}-y_{2}))[/tex]这样的边，大可以分成两条边来建，于是乎min就形同虚设了。并且我们可以看到这样建图有一个好处：跨越若干点的方案可以一定可以分成图上的若干边。问题大为简化，迎刃而解。

但这提有个丧病的地方：卡SPFA。加了一些优化照样挂。所以我一气之下写了可并堆优化的Dijkstra :)当然可并堆用的是pb_ds辣。

代码：

/**************************************************************
    Problem: 4152
    User: danihao123
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:4888 ms
    Memory:17412 kb
****************************************************************/
 
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <utility>
#include <ext/pb_ds/priority_queue.hpp>
#include <cctype>
#include <bitset>
#ifdef DEBUG
#include <cassert>
#endif
using namespace std;
const int maxn=200001;
int n;
inline int abs(int x){
    return x<0?-x:x;
}
  
int first[maxn];
int next[maxn*4],to[maxn*4],dist[maxn*4];
int graph_cnt=0;
inline void Add_Edge(int x,int y,int d){
    graph_cnt++;
    next[graph_cnt]=first[x];
    first[x]=graph_cnt;
    to[graph_cnt]=y;
    dist[graph_cnt]=d;
}
  
int d[maxn];
bitset<maxn> vis;
typedef pair<int,int> my_pair;
typedef __gnu_pbds::priority_queue<my_pair,greater<my_pair> > Heap;
Heap::point_iterator ite[maxn];
Heap Q;
int dij(){
    register int i,u;
    memset(d,0x7f,sizeof(d));
    d[1]=0;
    ite[1]=Q.push(make_pair(0,1));
    while(!Q.empty()){
        u=Q.top().second;
        Q.pop();
        if(vis[u])
            continue;
        vis[u]=true;
        for(i=first[u];i;i=next[i]){
            if(d[to[i]]>(dist[i]+d[u])){
                d[to[i]]=dist[i]+d[u];
                if(ite[to[i]]!=0)
                    Q.modify(ite[to[i]],make_pair(d[to[i]],to[i]));
                else
                    ite[to[i]]=Q.push(make_pair(d[to[i]],to[i]));
            }
        }
    }
    return d[n];
}
  
int pr[maxn][2];
int order1[maxn],order2[maxn];
int cmp1(const int i,const int j){
    return pr[i][0]<pr[j][0];
}
int cmp2(const int i,const int j){
    return pr[i][1]<pr[j][1];
}
// I/O优化
inline int readint(){
    char c=getchar();
    register int x=0;
    while(!isdigit(c))
        c=getchar();
    while(isdigit(c)){
        x=x*10+c-'0';
        c=getchar();
    }
    return x;
}
int main(){
    register int i;
    n=readint();
    for(i=1;i<=n;i++){
        pr[i][0]=readint();
        pr[i][1]=readint();
        order1[i]=i;
        order2[i]=i;
    }
    sort(order1+1,order1+1+n,cmp1);
    sort(order2+1,order2+1+n,cmp2);
    for(i=1;i<=n;i++){
        if(i!=1){
            Add_Edge(order1[i],order1[i-1],pr[order1[i]][0]-pr[order1[i-1]][0]);
            Add_Edge(order2[i],order2[i-1],pr[order2[i]][1]-pr[order2[i-1]][1]);
        }
        if(i!=n){
            Add_Edge(order1[i],order1[i+1],pr[order1[i+1]][0]-pr[order1[i]][0]);
            Add_Edge(order2[i],order2[i+1],pr[order2[i+1]][1]-pr[order2[i]][1]);
        }
    }
    printf("%d\n",dij());
    return 0;
}

终于A了！

再给大家欣赏一下zzs这个逗比百折不挠的卡评记录（一页半慎看）：

这道题就是平面图转对偶图的恶心题~

zzs在此列出此题坑点，望后人警觉：

1. 最好写一个定位函数，不然点的位置很容易混。
2. 不要用SPFA，不然会被卡。
3. m等于1或n等于1的情况需要特判！
4. 不要用边表，内存开销太惊人……
5. 用邻接表的话，不要像zzs这个逗比一样开小内存……

代码：